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夏志宏:趣味数学——分数加法

  •  99  0  1 仙桃大数据学院楼主
    2020-02-05 15:30
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撰文 | 夏志宏


看似高深的数学有时其实很简单。


上小学时很不喜欢做分数加减法,先得通分,再加减分子,一不小心就会出错。下面是常见的错误:

或者,

两道题犯了同样的错误:分子加分子,分母加分母。可能你不知道,上面两道题有时是对的,主要看你用在哪里。在概率论里,加法通常就是这么做的。请看下面的例子。



两个口袋里装着围棋,假定第一个口袋里有5个黑子,6个白子,取黑子的概率是5/11;第二个口袋里有6个黑子,3个白子,取黑子的概率是6/9。把两个口袋放在一起,取黑子的概率就是11/20。也就是说,5/11的概率加上6/9的概率是11/20。



同样,第二道题在概率论里也是对的。



因为概率加减法完全不符合分数加减法的基本法则,其结论也就可能违背常识,令人惊叹。



我们还是用上面的数字。如图,两张桌子上各放两口袋,



桌子甲: 口袋A,5黑子+6白子;口袋B,3黑子+4白子;

桌子乙: 口袋A,6黑子+3白子;口袋B,9黑子+5白子。

我们的游戏是取到黑子中奖。

对于桌子甲的中奖概率,




所以口袋A中奖概率大。

对于桌子乙,


所以还是口袋A中奖概率大。

现在是见证数学魔术时刻。两张桌子都是口袋A好,如果把两张桌子A和A放在一起,得奖概率是

如果把B和B放在一起,得奖概率是

结论:选择B更好,得奖概率更大!是不是有点不可思议?



你可能觉得这只是一个数学游戏,事实上这种现象在日常生活中时有发生。



两种新药A、B分别在上海和北京测试,效果都是A比B好。但测试数据放在一起时,却发现是B比A好。



美国加州大学伯克利分校有个课题组,曾研究女生在研究生录取时是否受到歧视,其文章在《科学》(Science)[1]发表。课题组在两组独立数据下的结论都是女生受到歧视,但数据放在一起后发现,女生并没有受到歧视。



在概率论里,上述现象叫辛普森悖论(Simpson’s Paradox),其基本原因就是概率加减法和我们平常加减法不同,由此衍生了很多有趣的数学问题(是的,可以写好几个博士论文)。看似高深的数学有时其实很简单。


——2018.5. 深圳

 
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