趣味数学:无理数
公元1610年,天文学家伽利略发现了太阳黑子,这在欧洲引起了极度恐慌。从亚里士多德以来,人们一直认为太阳是完美无缺的。太阳黑子的存在破坏了这些根深蒂固的文化理念。太阳有缺陷这个事实也与当时的宗教教义所相悖。
,也就是说,希勃索斯是第一个发现
是无理数的人。

在音乐上,频率共振会带来和谐和美感,但无理数的出现却带来了一些尴尬及无奈。基音——比如C音,频率为261Hz——确定以后,高八度就是C的频率的两倍522Hz。从C到高音C之间,如何确定其它音阶的频率是一个非常有趣的问题。
由“五度相生律”所产生的八度可分为十二个音程,音程之间距离并不相等。现代音乐为了便于基音的改变和转调,不得不把八度平均分成十二个半音音程,使得各相邻两音之间的频率之比完全相等,如此得到的即是所谓的“十二平均律”。十二平均律基音改变以后音阶的比例也会完全一致。十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用,现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的。
但非常遗憾的是,十二平均律半音的频率比为2的1/12次方,是一个无理数。而且每两个音的频率比,除了高八度外,都是无理数。比如,纯五度音程的两个音的频率比为2 的7/12 次方,是个无理数,大约等于1.4983,和自然泛音序列的1.5有些差别。同样,其它和弦音符都跟“五度相生律”序列中的几个音符不一样。所幸的是,纯五度、纯四度、大三度等在十二平均律中和3/2,4/3,5/4非常接近,常人听不出什么区别。正因为如此,小号等靠自然泛音序列定音的按键吹奏乐器得以在交响乐队演奏,而没有明显的违和感。
最后,关于无理数的性质有很多有趣的数学问题。比如,黄金分割是所有无理数中最“无理”的无理数。有意思的是,无理数不仅存在,而且事实上比有理数多得多。
——2018.7. 深圳
我们用反证法。假定

是有理数,也就是说
这里p和q都是正整数,我们可以假定p和q互为素数,也就是说p和q没有公因子。等式两边平方以后,得到
也就是说
因此p必须是偶数,也就是说p=2k,k为一正整数。我们因此得到
或者
因此,q也必须是偶数。P和q都是偶数,与p和q互素的假定矛盾。
证毕。
夏志宏
南方科技大学数学系主任、讲座教授,致诚书院院长。
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